בחלק זה נעסוק בשלושה מקרים שבהם נקבע דין התערובת לא באופן גורף, אלא על פי חישוב היחסים שבין הרכיבים: תערובת מדומע שנפלה לחולין, שאור של תרומה, ומים שאובים שהגיעו למקווה.
המקרה הראשון - תערובת מדומע שנפלה לחולין:
יחידה אחת של תרומה שנפלה לתוך פחות ממאה יחידות של חולין - התערובת נעשית 'מדומע', האסורה מדרבנן. מן התורה, כפי שנתבאר, די ברוב חולין; מדרבנן נדרש יחס של פי מאה, ויחס זה אינו קיים כאן. נניח לצורך הדיון כי היו תשע יחידות חולין, ונפלה לתוכן יחידה אחת של תרומה - סך הכול עשר יחידות, ונמצא שהתערובת כולה היא עשרה אחוזים תרומה.
מה הדין כאשר מתערובת זו נופלת יחידה אחת לכמות אחרת של חולין? מהי הכמות הנדרשת בחולין השניים כדי להתיר את התערובת החדשה באכילה?
רבי אליעזר: נוקט תמיד את המצב החמור ביותר - ייתכן שמה שיצא מן התערובת הראשונה היה כולו תרומה. לפיכך מתייחסים אל תערובת המדומע, שהיא עשרה אחוזים תרומה, כאילו הייתה תרומה טהורה. כלומר, אם נפל ליטר אחד מתערובת המדומע לתוך חולין, נדרשים מאה ליטר של חולין כדי להתיר את התערובת השנייה.
חכמים: מתחשבים ביחס המדויק בלבד, בהנחה שהתערובת מעורבת באופן שווה. אם בתערובת היו עשרה אחוזים תרומה, הרי שבליטר שנפל היה עשירית ליטר של תרומה בלבד. לפיכך די בפי מאה מכמות זו - עשרה ליטר של חולין בתערובת השנייה - כדי להתירה באכילה.
זוהי כוונת לשון המשנה: תערובת של תרומה וחולין אינה אוסרת את התערובת החדשה כאילו הייתה תרומה גמורה, "אלא לפי חשבון" - לפי מעקב אחר היחס האמיתי של התרומה שנפלה בפועל.
המשנה ממשיכה ומביאה שני מקרים נוספים המבוססים אף הם על חישוב יחסים.
המקרה השני - שאור של תרומה:
נקדים את הרקע. ישנם כללים רבים בענייני ביטול: בתערובת של איסור והיתר נקבע היחס הנדרש כדי להעניק לתערובת מעמד של היתר, מתוך ההנחה שחלק האיסור קטן מכדי שיהיה לו תפקיד בתערובת. משמעות הביטול היא שהאיסור כאילו נעלם, ואינו נחשב מציאות שיש להתייחס אליה. בתרומה, כאמור, היחס הוא מאה כנגד אחד: כאשר יש פי מאה חולין כנגד יחידה אחת של תרומה, רכיב התרומה אינו משמעותי דיו והוא בטל.
אולם ישנם יוצאי דופן לכללי הביטול - דברים שאינם מתבטלים לעולם, ואחד מהם הוא המקרה שבו עוסקת המשנה: שאור.
בפסח אסרה התורה שני דברים: חמץ ושאור. חמץ הוא מוצרי דגן שהחמיצו כדרכם - אחד מחמשת מיני דגן שנתערב במים, ולאחר שמונה עשרה דקות נעשה חמץ. שאור הוא דבר אחר: אין הוא מאכל ואינו ראוי לאכילה, אך הוא ממלא את תפקיד השמרים שבימינו, שכן הוא מכיל שמרים. כיום, המבקש לאפות לחם מוסיף שמרים טהורים לבצק והם מתפיחים אותו; בזמן המשנה לא הייתה גישה לשמרים טהורים, ולכן היו מפרישים מעט מן הבצק, משאירים אותו בצד בלא לאפותו, ולמחרת מערבבים את הבצק בן היום הקודם עם הבצק החדש. בצק האתמול תסס, ואף שאין הוא ראוי לאכילה, הוא משמש זרז ליצירת שמרים ולהחמצת הלחח החדש. זהו השאור.
נניח שהשאור עצמו הוא תרומה - למשל עיסת חלה שהופרשה ונעשתה גורם מחמיץ המוכנס לעיסה של היום. מחשבה מוטעית היא לומר שדי בפי מאה מעיסת חולין כנגד אותה יחידה של שאור תרומה. שהרי אפילו אם היה פי אלף חולין כנגד השאור, אין לומר שהתרומה בטלה ואיננה, שכן עצם העובדה שהלחם תפח מוכיחה שהגורם המחמיץ פועל כאן. הלחם צועק שהוא עדיין קיים, ולכן אין הוא בטל. קטגוריה זו נקראת 'מעמיד' - הרכיב המזרז את החמצת הלחם.
דוגמה נוספת להמחשת הנקודה: קיבה, חלבון מן החי שהוא אנזים המוכנס לחלב כדי לעשותו גבינה. אף אם יש פי אלף חלב כנגד מעט הקיבה, אין לומר שהיא בטלה, שכן עצם העובדה שהחלב נעשה גבינה מלמדת שהאנזים פועל בתוכו. האנזים צועק "הנני", ומשום כך אין הוא מתבטל.
לפיכך, שאור של תרומה שנפל לתוך עיסה - בכל שיעור שהוא, ואפילו פי אלף חולין כנגדו - אם העיסה תפחה, העיסה אסורה, והתרומה אינה בטלה אף ביותר ממאה לאחד, שכן רכיב התרומה מכריז על עצמו: "הנני, אני החמצתי את הלחם".
המקרה שבמשנה הוא עיסה שהיא תערובת של שאור תרומה וחולין. עיסה כזו, אם תונח, תחמיץ ככל עיסה, ובוודאי אסורה כאמור. אך מה הדין כאשר חלק מאותה תערובת נופל לתוך עיסת חולין חדשה? האם מתייחסים אליה כאל שאור טהור והכול נאסר, או שמא נוקטים דרך אחרת?
לדעת הברטנורא, כוונת המשנה היא לחישוב: אם רכיב התרומה שבתערובת שנפלה היה בכמות המספיקה כשלעצמה להתפיח את העיסה השנייה - העיסה אסורה, שכן התרומה עדיין משמעותית. ואם רכיב התרומה לבדו לא היה מסוגל להתפיח את הלחם, אין העובדה שנפל צירוף גדול יותר של תרומה וחולין אוסרת את העיסה השנייה.
לשון המשנה: "ואין המחמץ מחמיץ אלא לפי חשבון" - תערובת שאור המורכבת מחולין ותרומה שנפלה לעיסת חולין אחרת, אין נחשב שהחמיצה אותה ואסרה אותה בכל שיעור שהוא, אלא לפי החשבון: כמה תרומה יש בפועל בתערובת שנפלה, והאם כמות זו לבדה הייתה מעלה את החולין לכדי לחם.
המקרה השלישי - מים שאובים במקווה:
הרקע לעניין: מקווה כשר טעון ארבעים סאה מים, ומים אלו צריכים להיות מי גשמים (כך נכנה זאת לשם הפשטות), ולא מים שנשאבו ביד בכלי. משיש בבור ארבעים סאה מים כשרים, אפשר להוסיף כוס אחר כוס של מים שאובים עד למיליון גלון, והמקווה נשאר כשר.
אולם לפני שהושלמו ארבעים סאה, הדין שונה. מן התורה די ברוב: אם היו בבור עשרים ואחת סאה של מי גשמים והוסיפו עליהן תשע עשרה סאה של מים שאובים, המקווה כשר, שכן רוב מימיו כשרים. מדרבנן, לעומת זאת, כל עוד אין ארבעים סאה, הוספת מים שאובים פוסלת את המקווה - וכבר בשלושה לוגין בלבד.
להמחשת השיעורים: סאה היא כשנים עשר ליטר - כמארז של שש בקבוקים בני שני ליטר. ארבעים סאה הן ארבעים כפול שנים עשר, כארבע מאות ושמונים ליטר, וזו כמות המים הנדרשת במקווה כשר. לוג הוא בקבוק בן חמש מאות סמ"ק, ושלושה לוגין הם ליטר וחצי. ליטר וחצי הם שמינית משנים עשר ליטר, שהרי עשרים וארבעה לוגין בסאה אחת, ונמצא ששלושה לוגין הם שמינית הסאה. אם כן, שפיכת שלושה לוגין - שמינית סאה, כליטר וחצי של מים שאובים - למקווה שאין בו עדיין ארבעים סאה של מי גשמים, פוסלת מדרבנן את המקווה כולו.
עם זאת, בנו חכמים קולא מסוימת, שהרי הפער בין דרישות המקווה מן התורה לבין דרישות דרבנן גדול. כל עוד רוב המקווה מלא במי גשמים, אין שופכים את המים השאובים ישירות לתוך המקווה - שאם כן, אפילו שלושה לוגין, ליטר וחצי, פוסלים אותו - אלא שופכים את מיעוט המקווה, כגון תשע עשרה הסאה, על הקרקע שבצד המקווה, והמים זורמים מאליהם מן הקרקע פנימה. אין זו שפיכה ישירה אלא שפיכה בעקיפין, וזה נקרא 'המשכה' - מלשון משיכה, שהמים נמשכים ונכנסים מעצמם. באופן זה המקווה כשר, ובלבד שרוב מימיו מי גשמים.
כך מבאר הברטנורא את פשט המשנה: "אין המים שאובין פוסלין את המקווה אלא לפי חשבון" - מים שהיו שאובים ולא נשפכו באופן ישיר, אלא בעקיפין לצד המקווה, ונכנסו לתוכו מאליהם דרך המשכה, אינם פוסלים את המקווה, אלא אם כן החשבון מעלה שאין רוב מי גשמים במקווה זה. כל עוד רוב המקווה מי גשמים, המיעוט יכול להיות מים שאובים שהגיעו בהמשכה, והמקווה כשר.
לסיכום: בשלושת המקרים שבמשנה נקבע הדין לא באופן גורף אלא "לפי חשבון": בתערובת מדומע שנפלה לחולין - לדעת חכמים מחשבים את היחס האמיתי של התרומה שנפלה, ולא כדעת רבי אליעזר הרואה את כל התערובת כתרומה; בשאור של תרומה - בוחנים אם רכיב התרומה לבדו היה מסוגל להתפיח את העיסה השנייה; ובמים שאובים שנכנסו למקווה בהמשכה - בוחנים אם נותר רוב מי גשמים במקווה.