לפנינו משנה ב' בפרק א' של מסכת עדויות. משנה זו נמנית עם אותן משניות שרבים אינם נותנים את דעתם על פרטיהן, שכן אופיין מתמטי במובהק. לפיכך נציג תחילה את תוכנה הכללי של המשנה תוך דילוג על הפרטים הטכניים, ולאחר מכן נשוב ונפרוט את החישובים לפרטיהם, עבור המבקשים לרדת לעומק הדברים.
תוכן המשנה בקצרה:
נחלקו התנאים בשאלה כמה קמח צריך להיות בעיסה כדי שתתחייב בהפרשת חלה - אותה מנה המופרשת מן הבצק וניתנת במתנה לכהן. שלוש דעות נאמרו בדבר:
שמאי: קב אחד של קמח. (ניתן לדמות את הקב, לצורך ההמחשה, לבקבוק בנפח שני ליטר.)
הלל: שני קבין של קמח.
חכמים: לא כדברי זה ולא כדברי זה, אלא קב ומחצה.
ראוי לציין כי משנה זו, יחד עם המשנה שלפניה והמשנה שלאחריה, היא אחד המקומות שבהם נחלקו הלל ושמאי וחכמים אינם פוסקים כאחד מהם, אלא נוקטים שיעור אמצעי משלהם.
שלושה שלבים בגודל המידות:
כאן נכנסת רמה נוספת של מורכבות, שכן חלו שלושה שלבים של התפתחות במידת הקב, שהוא מעין כלי מדידה:
המידות המדבריות - כלי המדידה שהיו נהוגים במדבר.
המידות הירושלמיות - בזמן שהסנהדרין ישבה בירושלים הגדילו את כלי המדידה.
המידות הציפוריות - לאחר חורבן בית שני, כשהתכנסה הסנהדרין בציפורי, הגדילו את כלי המדידה בשנית.
חז"ל מתייחסים לתוספת שבכל שלב כ"שתות", ולעניינו נתרגם זאת כעשרים אחוז. נמצא שכלי המדידה הקרוי "קב" גדל בעשרים אחוז בירושלים ביחס למדבר, ושוב בעשרים אחוז בציפורי ביחס לירושלים. כמות הקמח עצמה המחייבת בחלה אינה משתנה כלל, אלא שככל שכלי המדידה גדלים, מספר הקבין הנקוב קטן והולך.
לפיכך ממשיכה המשנה ואומרת: אף שחכמים נקטו קב ומחצה במידות ירושלים, לאחר שעברו למידות ציפורי יורד השיעור לקב ורבע, שהם חמישה רבעים. ורבי יוסי חולק ואומר שאין זה קב ורבע בדיוק, אלא קב ורבע ועוד - תוספת של כחמישה אחוזים - משום שיסוד המידות הוא נפח הביצה, והביצה נתקטנה מעט.
לשון המשנה:
"שמאי אומר מקב לחלה" - קב אחד של קמח מחייב בהפרשת חלה.
"והלל אומר מקביים" - שיעור של שני קבין הוא המחייב.
"וחכמים אומרים לא כדברי זה ולא כדברי זה, אלא קב ומחצה חייבים בחלה" - לדעת חכמים שניהם אינם מכוונים לשיעור הנכון, והשיעור המחייב הוא קב וחצי.
כאן עולה קושי ראשון שיש להעמידו: שיעורי הקב והקביים של שמאי והלל מבוססים על מידות המדבר, ואילו הקב ומחצה של חכמים נאמר במידות ירושלים. נמצא שאין הדעות מדברות בדיוק באותם מונחים, ואף על פי כן כך נשנו הדברים.
"ומשהגדילו המידות אמרו חמשת רבעים חייבים" - משהגדילו את כלי המדידה בפעם השנייה בציפורי, השיעור הוא חמישה רבעי קב, כלומר קב ורבע במקום קב וחצי.
"רבי יוסי אומר חמישה פטור, חמישה ועוד חייבין" - חמישה רבעי קב פטורים, ואילו חמישה רבעים ועוד - תוספת של כחמישה אחוזים - חייבים בהפרשת חלה.
להלכה למעשה: הדעות נעות כיום בין כתשע לשלוש עשרה כוסות קמח לעיסה טרייה. באופן כללי, מתשע כוסות מפרישים בלי ברכה, ומשלוש עשרה מפרישים בברכה. את אופן העשייה המדויק למעשה יש לברר אצל רב מורה הוראה.
מקור הדין בתורה:
יסוד הדיון כולו הוא הפסוק: "והיה באכלכם מלחם הארץ תרימו תרומה לה', ראשית עריסותיכם חלה תרימו תרומה" - ראשית העיסה תופרש כחלה ותינתן במתנה. יש לשים לב שהמילה "כהן" אינה מופיעה בפסוק, אלא הנתינה נאמרה לה', והכהן הוא הבא במקומו.
אלא שאין בפסוק שיעור כמה היא אותה עיסה. מקור השיעור הוא במן, לחם מן השמים שירד לישראל במדבר, שממנו היו מכינים את מאכלם, והכמות שקיבל כל אחד ליום הייתה עומר לגולגולת. העומר הוא עשירית האיפה, והאיפה היא מידה גדולה מאוד. מכאן, בהיקש, נלמד שיעור הקמח המתחייב בחלה.
כלל 'אסקלב גודו':
כדי לזכור את היחסים בין מידות הנפח קיים כלל אצבע: 'אסקלב גודו'. 'אסקלב' נכתב באותיות אלף, סמך, קוף, למד, בית - איפה, סאה, קב, לוג, ביצה. 'גודו' נכתב באותיות גימל, וו, דלת, וו - שלוש, שש, ארבע, שש. כותבים את חמש אותיות 'אסקלב' בשורה, ובין כל שתי אותיות משכנות רושמים את אחת מארבע אותיות 'גודו', והיא מלמדת את יחס ההמרה ביניהן:
בין האיפה לסאה - גימל: שלוש סאין באיפה.
בין הסאה לקב - וו: שישה קבין בסאה.
בין הקב ללוג - דלת: ארבעה לוגין בקב.
בין הלוג לביצה - וו: שש ביצים בלוג.
אם רוצים לצייר זאת בדמיון: הקב הוא בקבוק של שני ליטר; הסאה, שיש בה שישה קבין, היא מארז של שישה בקבוקים; והאיפה, שיש בה שלוש סאין, היא שלושה מארזים כאלה זה על גבי זה. בחשבון פשוט - שלוש כפול שש - נמצא שיש שמונה עשר קבין באיפה אחת.
מכיוון שהעומר שקיבלו במדבר הוא עשירית האיפה, מחלקים שמונה עשר בעשר ומקבלים 1.8. נמצא ששיעור המן, ובהיקש שיעור הקמח המחייב בחלה, הוא 1.8 קב במידות המדבר, שהם קב ומחצה במידות ירושלים.
המרת המידות מן המדבר לירושלים:
נצייר לעצמנו את כלי המדידה של המדבר כשהוא מחולק לחמישה חלקים שווים. שיעור עשירית האיפה עומד על 1.8 כלים, כלומר כלי אחד מלא ועוד ארבע חמישיות מן השני - סך הכול תשעה חלקים מלאים. בירושלים הוסיפו על גודל הכלי "שתות", העולה לעשרים אחוז כלשוננו, ונמצא שבמקום חמישה חלקים בכל קב יש כעת שישה חלקים באותו גודל. משום כך די כעת בקב וחצי: בקב אחד יש שישה חלקים, ובחצי הנוסף עוד שלושה - הרי תשעה חלקים, כבתחילה. זהו פשר ההמרה מ-1.8 ל-1.5, שהיא הכפלה בחמש שישיות. אפשר ששלב זה אינו אינטואיטיבי מבחינה מתמטית, אך שתי התמונות שהצגנו מסייעות להבינו. זוהי שיטת חכמים.
'מלגו' ו'מלבר':
באשר לתרגום "שתות" כעשרים אחוז: מצינו בדברי חז"ל במקומות רבים שתי דרכים למדוד יחס - 'מלגו' ו'מלבר', בתרגום חופשי מבפנים ומבחוץ. הנוהג שלנו הוא זה שחז"ל קוראים לו 'מלגו'.
נמחיש זאת בעניין מוכר יותר: תוספת חומש המופיעה בתורה במקומות רבים. "חומש" פירושו כביכול חמישית, אך למעשה זו תוספת של עשרים וחמישה אחוזים. כיצד? אם גזל אדם ארבעה פריטים ועליו להשיבם בתוספת חומש כקנס, עליו להוסיף פריט חמישי על כל ארבעה שגזל. משנתן את כל החמישה, אחד מתוך החמישה - זה שמבחוץ, 'מלבר' - הוא התוספת. אך ביחס לחוב עצמו, שהיה ארבעה, מדובר בתוספת של עשרים וחמישה אחוזים. וזה ההבדל: 'מלבר' - מבחוץ, ו'מלגו' - מבפנים, כדרך שאנו נוהגים למדוד.
שיטת הלל:
יישום הכלל הזה בשיטת הלל ושמאי מנוגד לאינטואיציה. אף שנאמר כי העומר הוא עשירית האיפה, מבין הלל שאותה "עשירית" נאמרה מלבר, ואין היא חלק אחד מתוך עשרה אלא חלק אחד מתוך תשעה - כשם שהחומש הוא רבע. לפיכך אין מחלקים בעשר אלא בתשע: שמונה עשר קבין שבאיפה מחולקים בתשע, והתוצאה שניים. זהו יסוד דבריו של הלל שהשיעור הוא שני קבין, והוא מדבר במידות המדבר בלא להמיר למידות ירושלים.
שיטת חכמים:
חכמים, האומרים קב ומחצה, נחלקו על הלל בשני דברים: ראשית, לדעתם "עשירית" נאמרה מלגו, ולכן שמונה עשר מחולק בעשר עולה 1.8. שנית, אין הם מדברים במידות המדבר אלא במידות ירושלים, ולכן מכפילים בחמש שישיות ומגיעים מ-1.8 ל-1.5. זהו הקב ומחצה שבמשנה.
שיטת שמאי:
שמאי סובר ביסודו כהלל, אלא שהוא מדייק בלשון הפסוק "ראשית עריסותיכם" - בלשון רבים. מאחר שאדם אוכל כשתי סעודות ביום, בבוקר ובערב, כל עיסה היא כמחצית השיעור, וזהו השיעור המתחייב בחלה. לפיכך אומר שמאי שהשיעור אינו שני קבין אלא קב אחד - מחצית המנה היומית - במידות המדבר.
שיטת רבי יוסי:
רבי יוסי הולך בדרכם של חכמים: במקורו השיעור הוא 1.8 קב במידות המדבר; במידות ירושלים הוא יורד ל-1.5 (בהכפלה בחמש שישיות); ובמידות ציפורי הוא יורד שוב, בהכפלה נוספת בחמש שישיות, לחמישה רבעים - קב ורבע. אלא שלדעתו, מאחר שיסוד המידות כולן הוא נפח הביצה - כפי שעולה מכלל 'אסקלב גודו', שמן הקב עוברים לארבעה לוגין ומן הלוג לשש ביצים - והביצה נתקטנה מעט, שוב אין חמישה רבעי קב מספיקים בקב של ציפורי, אלא צריך "חמישה ועוד", תוספת העולה לכחמישה אחוזים.
לסיכום: במשנה זו נחלקו שמאי, הלל וחכמים בשיעור הקמח המחייב בהפרשת חלה - קב, קביים או קב ומחצה. שורש המחלוקת בשיעור העומר שירד במדבר, עשירית האיפה, ובשאלה אם "עשירית" נמדדת מלגו או מלבר, וכן באיזו מן המידות - המדבריות, הירושלמיות או הציפוריות - מדובר. משהגדילו המידות בציפורי ירד השיעור לחמישה רבעים, ורבי יוסי הוסיף על כך תוספת מועטת מחמת התקטנות הביצה.