אהלות, פרק י"ב, משנה ז'. אונדזער משנה גייט ווײַטער און לערנט אונדז ווי אַזוי אַ קליינער רוים, אפילו אַ רוים וואָס מיר וואָלטן קוים באַמערקט, קען זײַן אַן אוהל און איבערדרייען אַלץ בײַם וועג ווי טומאה גייט. דאָ נעמט די משנה אַ פאַל וואָס הייסט אונדז זיך פאָרשטעלן עפעס גאָר אַ געוויינטלעכס, און דערנאָך זיך גוט אַרײַנקוקן.
די משנה הייבט אָן: "עמוד שהוא מוטל לאויר", אַ זײַל, אַ גרויסע קײַלעכדיקע שטאַנג, וואָס ליגט אין דער פרײַער לופט. ער שטייט נישט אויפרעכט, נאָר ליגט אויף דער זײַט אויף דער ערד. און ער איז נישט אונטער קיין דאַך: אויב איר שטייט לעבן אים און קוקט אַרויף, זעט איר די וואָלקנס, אָדער אין אַ קלאָרן טאָג, דעם בלויען הימל איבער אײַך.
דער רוים וואָס קיינער טראַכט נישט דערפון
פאַרמאַכט די אויגן אויף אַ רגע און שטעלט זיך פאָר ווי איר גייט צו צו אַ זייער גרויסע קײַלעכדיקע שטאַנג וואָס רוט אויף דער ערד. ווײַל זי איז קײַלעכדיק, איז דער טייל וואָס בייטלט זיך אַרויס צו אײַך בײַ איר מיטן. פון יענעם מיטלפונקט הייבט די אויבערפלאַך אָן זיך צוריקבייגן אַרײַן, סײַ אַרויף סײַ אַראָפּ, ביז גאָר אונטן וווּ די שטאַנג רירט די ערד.
איצט שטעלט זיך בײַ דער זײַט פון דער שטאַנג און רירט אָן דעם פּונקט וואָס שטעקט אַרויס דאָס ווײַטסטע. וואָלט איר אַראָפּגעלאָזט אַ גליײַכע ליניע פון יענעם פּונקט ביז גאָר אַראָפּ צו דער ערד, וואָלט איר אַנטדעקט אַז הינטער אײַער ליניע איז דאָ אַ רוים: אַ שפּיציקער קײַל לופט צווישן דער ערד און דער געבויגענער אונטערשטער זײַט פון דער שטאַנג.
אויב איר האָט נישט צופעליק אַ גרויסן עמוד ליגן אין שטוב, נעמט אַ קײַלעכדיקן פּען און לייגט אים אויפן טיש. קוקט אויפן שאָטן אונטער אים. שטעלט זיך פאָר אַ ליניע וואָס גייט אַראָפּ פון ברייטסטן פּונקט פונעם פּען גליײַך צום טישברעט. עפעס גאָר דין וואָלט געקענט אַרײַנשלופּן הינטער יענער ליניע, אַרײַן אין דעם קליינעם אָנגעשרעגטן שפּאַלט וואָס גייט פון וווּ די בייגונג הייבט אָן זיך צוריקציען ביזן פּונקט וווּ דער פּען רוט אויפן טיש.
די שאלה
די שאלה פון דער משנה איז וועגן פּונקט יענעם קײַל רוים אונטער דער אָנגעשרעגטער זײַט פון דער שטאַנג. זאָגט אַז טומאה ליגט דאָרט אין איין אָרט, און ווײַטער אין דעם זעלבן שפּאַלט, אונטער דער שטאַנג, ליגט אַ כלי. איז דאָרט דאָ אַ טפח אויף אַ טפח רוים? אויב יאָ, איז יענער רוים אַן אוהל, און דער כלי ווערט טמא. אויב נישט, איז דאָס נישט קיין אוהל. אונדזער משנה גיט אונדז אַ וועג ווי צו מעסטן דאָס, אָן קיין מאָל אַרונטערצוקריכן.
די מאָס: פיר און צוואַנציק טפחים אַרום
די מאָס וואָס ווערט געגעבן איז: "אם יש בהיקפו עשרים וארבעה טפחים", אויב זײַן הקף (אַרומרינג) קומט אויס פיר און צוואַנציק טפחים. וויקלט אַ מעסט-בענדל אַרום דעם עמוד און גייט מיט איר איין מאָל גאָר אַרום. ווײַזט דאָס בענדל פיר און צוואַנציק טפחים, איז דער פּסק "מביא את הטומאה תחת דופנו": די שטאַנג ברענגט די טומאה אונטער איר זײַט. הייסט עס, אין דעם נידעריקן געגנט וווּ די אויבערפלאַך בייגט זיך צוריק צו דער ערד, האָט איר געוויס אַ קוואַדראַט טפח לופט, און אַזאַ רוים האָט דעם דין פון אַן אוהל.
דערפון קומען אַרויס צוויי דינים. אויב טומאה ליגט אין איין אָרט אין יענעם קײַל און אַ כלי ליגט אין אַן אַנדער אָרט דערין, ווערט דער כלי טמא, ווײַל אַן אוהל טראָגט טומאה אין דער ברייט אויף זײַן גאַנצער לענג. און פאַרקערט אויך: ליגט די טומאה אין דעם שפּאַלט און אַ כלי ליגט אויף דער אויבערשטער פלאַך פון דער שטאַנג, איז דער אוהל אַ מחיצה קעגן דעם וואָס די טומאה זאָל אַרויפגיין, און יענער כלי בלײַבט טהור.
"ואם לאו", און אויב נישט: קומט דאָס בענדל צוריק מיט אַ צאָל ווייניקער ווי פיר און צוואַנציק טפחים, וועט די שפּאַלטל לופט נעבן דער ערד נישט האַלטן אַ פולן טפח אין יעדער ריכטונג ווען מען מאַכט דערפון אַ קוואַדראַט. גאָרנישט דאָרט האָט אַ קוואַדראַט טפח, אַלזאָ איז דאָ נישט קיין אוהל, און די טומאה האָט קיין וועג נישט מיט וועלכן צו גיין אין דער ברייט אונטער דער שטאַנג.
ממילא, טומאה בײַ איין אָרט אין יענעם שפּאַלט לאָזט אַ כלי וואָס ליגט אין אַן אַנדער אָרט דערין טהור. אָבער די מטבע האָט צוויי זײַטן. פּונקט דאָס וואָס עס איז נישט דאָ קיין אוהל מיינט אַז עס איז גאָרנישט דאָ וואָס זאָל אָפּהאַלטן די טומאה אָדער זי פאַרשליסן. עס איז בוקעת ועולה, בוקעת ויורדת: זי ברעכט אַרויף און זי ברעכט אַראָפּ. ליגט אַ טייל פון אַ מת אונטער דער געבויגענער אונטערשטער זײַט פונעם עמוד, גייט די טומאה גליײַך אַרויף דורכן האָלץ און איז מטמא אַ כלי וואָס ליגט פּונקט איבער איר אויף דער קײַלעכדיקער פלאַך פון דער שטאַנג. דרייט אום דאָס בילד: לייגט אַ שטיקל מת אויבן, וווּ די פלאַך שרעגט זיך אַרויס צום ברייטסטן פּונקט, און די טומאה גייט אין אַ גליײַכער ליניע אַראָפּ דורך דער שטאַנג און איז מטמא אַ כלי וואָס ליגט אונטן.
אין קורצן דער כלל: מיט אַ טפח אויף אַ טפח האָט איר אַן אוהל, וואָס האַלט אָפּ די טומאה פון דורכגיין, אָבער איז מטמא וואָס נאָר איז אונטער אים. אָן אַ טפח אויף אַ טפח איז נישט דאָ קיין אוהל, אַלזאָ פאַרשפּרייט זיך גאָרנישט אין די זײַטן, אָבער די טומאה בויערט זיך אַרויף און אַראָפּ אין אַ גליײַכער ליניע.
פאַר די וואָס האָבן הנאה פון די חשבונות
אַ גערעכטע שאלה שטעלט זיך: ווי אַזוי האָבן חז"ל געקענט פעסטשטעלן אַז אַ הקף פון פיר און צוואַנציק טפחים גיט פּונקט אַ קוואַדראַט טפח דאָרט אונטן אין יענעם קײַל? אויב איר זײַט צופרידן מיט דער הלכה אַליין, קענט איר רואיק גיין ווײַטער. פאַר יעדן וואָס וויל מיטגיין מיט אונדז דעם וועג, איז דאָ דער חשבון, שריט נאָך שריט.
גייט אַרום צום עק פון דער שטאַנג און קוקט אויף איר קײַלעכדיקן פּנים. ווײַל די שטאַנג ליגט, דאַרפט איר נישט קלעטערן קיין אָרט כדי דאָס צו זען. נעמט אַ מאַרקער און ציט צוויי ליניעס איבער יענעם קרײַז: איינע פון אויבן גליײַך אַראָפּ צו אונטן, און איינע פון דער רעכטער זײַט גליײַך אַריבער צו דער לינקער. עס וועט אויסזען ווי דער בליק דורך אַ שיפס-פּעריסקאָפּ, אָדער ווי די קרייצלינען אויף אַ ראַדאַר-עקראַן. דער קרײַז איז איצט צעטיילט אין פיר פערטלעך: אויבן רעכטס, אויבן לינקס, אונטן רעכטס, אונטן לינקס.
חז"ל גיבן אונדז די פּראַקטישע פּראָפּאָרציע צווישן דעם הקף פון אַ קרײַז און דער ליניע וואָס גייט דורך זײַן מיטן: יענע דורכגייענדיקע ליניע איז אַ דריטל פונעם הקף. דערפאַר קומט אויס אַז אַ הקף פון דרײַ טפחים האָט אַ קוטר (דורכמעסטער) פון איין טפח. אונדזער הקף איז פיר און צוואַנציק טפחים, אַלזאָ איז די ליניע איבערן פּנים אַ דריטל דערפון, אַכט טפחים. שטייענדיק פאַרן עק פון דער שטאַנג, איז די שטרעקע פון רעכטן ראַנד ביזן לינקן ראַנד דורכן מיטן אַכט טפחים, און די שטרעקע פונעם אויבערשטן ראַנד אַראָפּ צום אונטערשטן ראַנד איז אויך אַכט טפחים.
אַ דערמאָנונג איידער מיר גייען ווײַטער: חז"ל אַליין זאָגן אונדז אַז דרײַ צו איינס איז נישט די פּינקטלעכע פּראָפּאָרציע. עס איז אַן אָפּשאַצונג, די נאָענטסטע פּשוטע צאָל מיט וועלכער מען קען אַרבעטן, און חז"ל האָבן געפּסקנט אַז מיר מעגן דערמיט אַרבעטן.
דער קרײַז אינעווייניק אין דעם קוואַדראַט
איצט שטעלט זיך פאָר אַ קוואַדראַטן ראַם וואָס איז געבויט ענג אַרום יענעם קײַלעכדיקן פּנים. יעדער עק פון מײַן אויפרעכטער ליניע טרעפט זיך מיטן ראַם, אויבן און אונטן; יעדער עק פון דער ליגנדיקער ליניע טרעפט זיך אויך מיט אים, רעכטס און לינקס. אָבער אין אַלע פיר ווינקלען פונעם ראַם בלײַבט אַ ביסל ליידיקער פּלאַץ, ווײַל דער קרײַז בייגט זיך אַוועק בעת די זײַטן פונעם ראַם גייען ווײַטער גליײַך.
די זײַט פונעם קוואַדראַט פון אויבן ביז אונטן, און פון זײַט צו זײַט, איז די זעלבע אַכט טפחים ווי די ליניעס פונעם קרײַז, ווײַל דאָס זײַנען פּונקט די פּונקטן וווּ קרײַז און קוואַדראַט טרעפן זיך. און ווידער, פאַרוואָס אַכט? ווײַל פיר און צוואַנציק אַרום גיט אַ דריטל דערפון אַריבער.
איצט, ווי לאַנג איז יעדע פון די פיר ליניעס וואָס מאַכן די פערטלעך? מעסט אַרויף לענג-אויס דער אויפרעכטער ליניע, פון וווּ דער ראַנד איז בײַם נידעריקסטן פּונקט ביז איר קומט צום מיטן, קומט אויס האַלב פון אַכט, וואָס איז פיר טפחים. גייענדיק פונעם מיטן אַרויס צום לינקן ראַנד קומט אויך אויס פיר טפחים. טראַכט פון אַ קײַלעכדיקן קוכן (זײַט מוחל אויפן משל) וואָס איז צעשניטן אין פיר חלקים: יעדער חלק האָט איין געבויגענעם ראַנד און צוויי גליײַכע ראַנדן, און יעדער גליײַכער ראַנד קומט אויס פיר טפחים. טאַקע, יעדע גליײַכע ליניע וואָס ווערט געצויגן פונעם מיטלפונקט אַרויס ביז זי קומט צום ראַנד איז פיר טפחים.
דער ווינקל: די מיליאָן דאָלאַר שאלה
לאָמיר זיך אָפּשטעלן אויף איין פערטל, זאָגן, אונטן לינקס; אַלע פיר ווינקלען זײַנען סײַ ווי סײַ די זעלבע. ציט אַ דיאַגאָנאַלע ליניע אינעווייניק אין דעם קוואַדראַט, פונעם אונטערשטן לינקן ווינקל אַריבער צום אויבערשטן רעכטן ווינקל. דער רוב פון יענער ליניע גייט אינעווייניק אין דעם קרײַז, אָבער די שטרעקע וואָס איז נאָענט צום ווינקל ליגט אין דרויסן פונעם קרײַז, אין יענעם איבערגעבליבענעם געבויגענעם רוים.
אַלץ הענגט אָפּ אין דער דאָזיקער שאלה: וויפל איז די לענג פון דעם שטיק דיאַגאָנאַל וואָס גייט פונעם ווינקל פון קוואַדראַט ביז ער קומט צום ראַנד פון קרײַז? די תשובה: אַן ערך איין טפח, און די מפרשים זאָגן אַז עס איז טאַקע אַ ביסל מער ווי אַ טפח.
פון וואַנעט קומט דאָס? חז"ל גיבן אונדז דעם כלל בײַ אַ קרײַז וואָס איז אַרײַנגעשטעלט אין אַ קוואַדראַט: דער דיאַגאָנאַל וואָס קומט צום ווינקל איז לענגער ווי די פּאַסיקע ליניע אינעווייניק אין קרײַז, מיט איין און צוויי פינפטל, 1.4. מיר האָבן פעסטגעשטעלט אַז די ליניע פונעם ראַנד פון קרײַז ביז זײַן מיטן איז פיר טפחים. ציט די זעלבע ליניע ווײַטער ביזן ווינקל פונעם קוואַדראַט, און לויט דעם כלל פון חז"ל וואַקסט זי מיט אַן ערך אַ טפח און נאָך אַ ביסל. יענע צוגאָב-שטרעקע, דער רוים אין ווינקל פונעם קוואַדראַט וווּ דער קרײַז האָט זיך שוין אָפּגעבויגן, קומט אויס אַ ביסל מער ווי אַ טפח. און דאָס איז פּונקט וואָס מיר האָבן געזוכט: אַ באַווײַז אַז עס איז דאָ אַ טפח אויף אַ טפח אין יענעם ווינקל-רוים, וואָס איז דער רוים אונטער דער אָנגעשרעגטער זײַט פון אונדזער שטאַנג.
איין לעצטער געדאַנק. די פּינקטלעכע פאַרבינדונג צווישן אַ קרײַז און אַ קוואַדראַט איז פון די שווערסטע שאלות אין דער גאַנצער מאַטעמאַטיק. ווען מען קוקט ווי חז"ל זײַנען געקומען צו זייערע צאָלן, איז דאָס פּלאי פּלאות, וווּנדער אויף וווּנדער, קומענדיק אַזוי נאָענט ווי נאָר מעגלעך צו קומען, ווײַל אַ פּינקטלעכע תשובה קען מען נישט האָבן; נאָר דער בורא עולם ווייסט זי פּינקטלעך. און מיט יענער אָפּשאַצונג וואָס חז"ל האָבן אונדז געגעבן, קענען מיר שטיין לעבן אַ זײַל וואָס ליגט אין דער פרײַער לופט, אַרומוויקלען אַ מעסט-בענדל אַרום אים, און וויסן צי דאָס שפּאַלטל רוים אונטער איר בייגונג איז אַן אוהל אָדער נישט.