אהלות, פרק י"ב, משנה ז. משנתנו ממשיכה ללמד אותנו כיצד חלל קטן, אפילו חלל שכמעט לא היינו שמים אליו לב, יכול להיחשב אוהל ולשנות מן הקצה אל הקצה את דרכי התפשטות הטומאה. כאן נוקטת המשנה מקרה שמבקש מאיתנו לדמיין דבר פשוט לגמרי, ואחר כך להתבונן בו בדקדוק רב.
פותחת המשנה: "עמוד שהוא מוטל לאויר", עמוד, קורה עגולה וגדולה, המוטל באויר הפתוח. אינו זקוף אלא שוכב על צדו על הקרקע, ואין מעליו שום גג: אם תעמוד לצידו ותרים את עיניך, תראה את העננים, וביום בהיר את התכלת שמעליך.
החלל שאף אחד אינו חושב עליו
עצום את עיניך לרגע ודמיין את עצמך מתקרב לקורה עגולה וגדולה מאוד המונחת על הקרקע. מכיוון שהיא עגולה, החלק הבולט לעברך הוא אמצעה. מאותה נקודת אמצע מתחיל פני העמוד להתעגל ולהיסוג פנימה, למעלה ולמטה, עד שבתחתית ממש נוגע העמוד בקרקע.
עתה עמוד בצידו של העמוד וגע בנקודה הבולטת ביותר. אם תוריד קו ישר מאותה נקודה עד הקרקע, תגלה שמאחורי הקו הזה יש חלל: טריז של אויר בין הקרקע ובין תחתיתו המתעגלת של העמוד.
ואם אין לך במקרה עמוד גדול מוטל בבית, קח עט עגול והנח אותו על השולחן. הסתכל בצל שמתחתיו. דמיין קו היורד מן הנקודה הרחבה ביותר של העט ישר אל פני השולחן. דבר דק מאוד יוכל להיכנס מאחורי הקו הזה, אל תוך הרווח המשופע הקטן שנמשך מן המקום שבו מתחיל העיגול להיסוג ועד הנקודה שבה נשען העט על השולחן.
השאלה
שאלת המשנה היא בדיוק על אותו טריז של חלל שמתחת לצידו המשופע של העמוד. נניח שטומאה מונחת שם במקום אחד, ובהמשך אותו רווח עצמו, מתחת לעמוד, מונח כלי. האם יש שם חלל של טפח על טפח? אם יש, אותו חלל הוא אוהל והכלי נטמא. ואם אין, אין שם אוהל. משנתנו נותנת לנו דרך למדוד זאת בלי לזחול לשם כלל.
המידה: עשרים וארבעה טפחים בהיקף
המידה הנתונה היא: "אם יש בהקיפו עשרים וארבעה טפחים", אם היקפו מגיע לעשרים וארבעה טפחים. הקף את העמוד בסרט מידה וסובב אותו סביבו פעם אחת שלמה. אם הראה הסרט עשרים וארבעה טפחים, הדין הוא "מביא את הטומאה תחת דפנו": העמוד מביא את הטומאה תחת דפנו. כלומר, באותו אזור נמוך שבו פני העמוד מתעגלים ונסוגים אל הקרקע, מובטח לך חלל של טפח מרובע, וחלל כזה דינו כאוהל.
מכאן נובעים שני דינים. אם הטומאה מונחת במקום אחד בתוך אותו טריז וכלי מונח במקום אחר בתוכו, הכלי נטמא, שכן אוהל מוליך את הטומאה לאורכו לרוחב. וכן להפך: אם הטומאה נעוצה ברווח וכלי מונח על פני העמוד מלמעלה, האוהל חוצץ בפני הטומאה מלעלות, ואותו כלי נשאר טהור.
"ואם לאו", ואם לא: אם חזר סרט המידה במספר הפחות מעשרים וארבעה טפחים, שביב האויר שסמוך לקרקע לא יגיע לטפח שלם בכל כיוון כשתעמיד אותו במרובע. אין שם דבר המחזיק טפח על טפח, ולכן אין אוהל, ולטומאה אין דרך שבה תוכל לעבור לרוחב מתחת לעמוד.
ממילא, טומאה במקום אחד באותו רווח מותירה כלי המונח במקום אחר בתוכו בטהרתו. אבל למטבע שני צדדים. עצם היעדרו של האוהל פירושו שאין שם דבר שיעצור את הטומאה או יסגור אותה בפנים. הרי זה בוקעת ועולה, בוקעת ויורדת: בוקעת ועולה למעלה ובוקעת ויורדת למטה. אם מונח חלק ממת תחת תחתיתו המתעגלת של העמוד, הטומאה עולה ובוקעת דרך העץ ומטמאה כלי המונח כנגדה ממש על פני העמוד העגולים. והפוך את התמונה: הנח חלק ממת מלמעלה, במקום שבו פני העמוד משופעים כלפי חוץ אל הנקודה הרחבה, והטומאה בוקעת בקו ישר למטה דרך העמוד ומטמאה כלי המונח תחתיה.
ולסיכום הכלל: כשיש טפח על טפח יש אוהל, והוא חוצץ בפני הטומאה מלעבור דרכו אך מטמא את כל מה שתחתיו. כשאין טפח על טפח אין אוהל, ולכן אין התפשטות לצדדים, אבל הטומאה בוקעת ועולה ובוקעת ויורדת בקו ישר.
למי שנהנה מן החשבון
עולה שאלה מתבקשת: כיצד יכלו חז"ל לקבוע שהיקף של עשרים וארבעה טפחים מוליד בדיוק טפח מרובע באותו טריז תחתון? מי שדי לו בהלכה עצמה, יכול להמשיך הלאה. ומי שרוצה לעשות איתנו את הדרך, הרי ההסבר, שלב אחר שלב.
הקף אל קצה העמוד והסתכל בפאה העגולה שלו. מכיוון שהעמוד שוכב, אינך צריך לטפס לשום מקום כדי לראותה. קח טוש ושרטט על אותו עיגול שני קווים: אחד מלמעלה ישר למטה, ואחד מן הצד הימני ישר אל הצד השמאלי. זה ייראה כמו המבט דרך פריסקופ של אונייה, או כמו הצלב שעל מסך מכ"ם. העיגול מחולק כעת לארבעה רבעים: ימני עליון, שמאלי עליון, ימני תחתון ושמאלי תחתון.
חז"ל נותנים לנו את היחס המעשי שבין היקף העיגול ובין הקו העובר במרכזו: אותו קו חוצה שווה לשליש ההיקף. משום כך היקף של שלושה טפחים כנגד קוטר של טפח אחד. ההיקף שלנו הוא עשרים וארבעה טפחים, ולכן הקו החוצה את הפאה הוא שליש מזה, שמונה טפחים. כשאתה עומד מול קצה העמוד, המרחק מן השפה הימנית אל השפה השמאלית דרך האמצע הוא שמונה טפחים, והמרחק מן השפה העליונה עד השפה התחתונה גם הוא שמונה טפחים.
תזכורת לפני שנמשיך: חז"ל עצמם אומרים לנו שהיחס של שלושה לאחד אינו מדויק. זה קירוב, המספר הפשוט הקרוב ביותר שאפשר לעבוד איתו, וחז"ל קבעו שמותר לנו לעבוד איתו.
העיגול שבתוך המרובע
עתה דמיין מסגרת מרובעת הבנויה בצמידות סביב אותה פאה עגולה. כל קצה של הקו האנכי שלי נוגע במסגרת, למעלה ולמטה, וכן כל קצה של הקו האופקי נוגע בה, מימין ומשמאל. ואף על פי כן, בארבע פינות המסגרת נשאר שטח ריק, שהרי העיגול מתעגל ונסוג בעוד צלעות המסגרת ממשיכות בקו ישר.
צלע המרובע מלמעלה למטה, ומצד לצד, היא אותם שמונה טפחים של קווי העיגול, שכן אלו הן בדיוק הנקודות שבהן נוגעים העיגול והמרובע זה בזה. ושוב, למה שמונה? מפני שעשרים וארבעה בהיקף נותנים שליש מזה ברוחב.
ועתה, מה אורכו של כל אחד מארבעת הקווים היוצרים את הרבעים? אם תמדוד למעלה לאורך הקו האנכי, מן המקום שבו נמצאת השפה בנקודה הנמוכה ביותר ועד שתגיע לאמצע, תקבל מחצית משמונה, שהם ארבעה טפחים. וכן אם תלך מן האמצע כלפי חוץ אל השפה השמאלית, גם כן ארבעה טפחים. חשוב על עוגה עגולה (במחילה מן המשל) החתוכה לארבעה חלקים: לכל חלק צלע אחת מעוגלת ושתי צלעות ישרות, וכל צלע ישרה היא ארבעה טפחים. ובאמת, כל קו ישר הנמשך מנקודת האמצע כלפי חוץ עד שהוא מגיע לשפה מודד ארבעה טפחים.
הפינה: שאלת מיליון הדולר
נתמקד ברביע אחד, נאמר השמאלי התחתון; ארבע הפינות זהות בכל מקרה. שרטט קו אלכסוני בתוך המרובע, מן הפינה השמאלית התחתונה של המרובע אל הפינה הימנית העליונה. רוב הקו הזה עובר בתוך העיגול, אבל הקטע הקרוב לפינה יוצא מחוץ לעיגול, אל אותו חלל מעוגל שנשאר.
הכול תלוי בשאלה הזאת: מה אורכו של קטע האלכסון הנמשך מפינת המרובע עד שהוא מגיע לשפת העיגול? התשובה: בערך טפח אחד, והמפרשים מבארים שלמעשה הוא יותר מטפח במקצת.
ומניין זה? חז"ל נתנו לנו את הכלל בעיגול שבתוך מרובע: האלכסון המגיע אל הפינה ארוך מן הקו המקביל שבתוך העיגול, פי אחד ושתי חמישיות, 1.4. וכבר העמדנו שהקו משפת העיגול אל מרכזו הוא ארבעה טפחים. מתח את אותו קו עצמו עד פינת המרובע, ולפי כלל חז"ל הוא גדל בכטפח ועוד קצת. אותה תוספת, החלל שבפינת המרובע שבו העיגול כבר נסוג והתעגל, יוצאת מעט יותר מטפח. וזה בדיוק מה שחיפשנו: הוכחה שיש טפח על טפח באותו חלל פינתי, שהוא החלל שמתחת לצידו המשופע של העמוד שלנו.
ומחשבה אחת לסיום. היחס המדויק שבין עיגול ובין מרובע הוא מן השאלות הקשות שבכל החשבון. כשאתה מתבונן בדרך שבה הגיעו חז"ל למספרים שלהם, זה פלאי פלאות, מתקרבים עד כמה שאפשר להתקרב, שהרי תשובה מדויקת אינה בהישג יד; רק בורא עולם יודע אותה במדויק. ובאותו קירוב שמסרו לנו חז"ל, אנו יכולים לעמוד לצד עמוד המוטל באויר הפתוח, להעביר סרט מידה סביבו, ולדעת אם שביב החלל שמתחת לעיגולו הוא אוהל או לא.