Ohalos, chapitre 12, michna 7. Notre michna continue de nous enseigner comment un petit espace, même un espace que nous ne remarquerions presque pas, peut avoir le statut d'ohel et changer complètement la façon dont la toumah se déplace. Ici, la michna prend un cas qui nous demande d'imaginer quelque chose de tout à fait ordinaire, puis de l'examiner de très près.
La michna commence : "Amud shehu mutal la'avir", un pilier, une grande poutre ronde, qui est couché à l'air libre. Il ne se tient pas debout ; il est couché sur le côté, à même le sol. Et il ne se trouve sous aucun toit : si vous vous tenez à côté de lui et que vous levez les yeux, vous voyez les nuages, ou, par temps clair, le ciel bleu au-dessus de vous.
L'espace auquel personne ne pense
Fermez les yeux un instant et imaginez-vous en train de vous approcher d'une très grande poutre ronde posée sur le sol. Comme elle est ronde, la partie qui bombe vers vous se trouve en son milieu. À partir de ce point médian, la surface commence à se recourber vers l'intérieur, vers le haut comme vers le bas, jusqu'à ce que, tout en bas, la poutre touche la terre.
Placez-vous maintenant sur le côté de la poutre et touchez le point qui ressort le plus loin. Si vous laissiez tomber une ligne droite depuis ce point jusqu'au sol, vous découvririez qu'il y a un espace derrière votre ligne : un coin d'air entre le sol et la face inférieure incurvée de la poutre.
Si vous n'avez pas de grand pilier qui traîne à la maison, prenez un stylo rond et posez-le sur la table. Regardez l'ombre en dessous. Imaginez une ligne qui descend tout droit du point le plus large du stylo jusqu'au plateau de la table. Quelque chose de très fin pourrait se glisser derrière cette ligne, dans le petit espace en pente qui va de l'endroit où la courbe commence à se retirer jusqu'au point où le stylo repose sur la table.
La question
La question de la michna porte précisément sur ce coin d'espace situé sous le flanc en pente de la poutre. Supposons que de la toumah se trouve là, à un endroit, et que plus loin, dans ce même interstice, sous la poutre, il y ait un keli. Y a-t-il là un tefach sur un tefach d'espace ? Si oui, cet espace est un ohel, et le keli devient tamé. Si non, ce n'est pas un ohel. Notre michna nous donne un moyen de le mesurer sans jamais avoir à ramper en dessous.
La mesure : vingt-quatre tefachim de circonférence
La mesure donnée est : "Im yesh behekeifo esrim ve'arba tefachim", si sa circonférence atteint vingt-quatre tefachim. Enroulez un mètre ruban autour de l'amoud et faites-en un tour complet. Si le ruban indique vingt-quatre tefachim, la règle est "mevi es hatumah tachas dofno" : la poutre transmet la toumah sous son flanc. Autrement dit, dans la zone basse où la surface se recourbe vers la terre, vous êtes assuré d'avoir un tefach carré d'espace aérien, et un tel espace a le statut d'ohel.
Deux conséquences en découlent. Si la toumah se trouve à un endroit de ce coin et un keli à un autre endroit du même coin, le keli contracte la toumah, car un ohel transporte la toumah horizontalement sur toute sa longueur. L'inverse est vrai également : si la toumah est logée dans l'interstice et qu'un keli repose sur la surface supérieure de la poutre, l'ohel fait barrage à la montée de la toumah, et ce keli reste tahor.
"Ve'im lav", et si non : si le ruban revient avec un chiffre inférieur à vingt-quatre tefachim, la mince lame d'air près du sol n'atteindra pas un tefach complet dans chaque direction lorsqu'on la met au carré. Rien là n'occupe un tefach carré, il n'y a donc pas d'ohel, et la toumah n'a aucun chemin par lequel se déplacer horizontalement sous la poutre.
Par conséquent, de la toumah à un endroit de cet interstice laisse tahor un keli posé à un autre endroit du même interstice. Mais la médaille a deux faces. L'absence même d'ohel signifie qu'il n'y a rien pour retenir la toumah ni pour l'enfermer. Elle est bokaas ve'olah, bokaas veyoredes : elle perce vers le haut et elle perce vers le bas. Si une partie d'un meis repose sous la face inférieure incurvée de l'amoud, la toumah monte tout droit à travers le bois et rend tamé un keli placé juste au-dessus, sur la surface arrondie de la poutre. Inversez l'image : posez un morceau de meis sur le dessus, là où la surface s'incline vers l'extérieur en direction du point le plus large, et la toumah descend en ligne droite à travers la poutre et rend tamé un keli qui se trouve en dessous.
Pour résumer le principe : avec un tefach sur un tefach, vous avez un ohel, qui empêche la toumah de passer à travers lui mais rend tamé tout ce qui se trouve en dessous. Sans un tefach sur un tefach, il n'y a pas d'ohel, donc rien ne se répand sur les côtés, mais la toumah perce vers le haut et vers le bas en ligne droite.
Pour ceux qui aiment les mathématiques
Une question légitime se pose : comment Chazal ont-ils pu établir qu'une circonférence de vingt-quatre tefachim donne exactement un tefach carré en bas, dans ce coin ? Si la halachah telle quelle vous suffit, n'hésitez pas à passer à la suite. Pour qui souhaite faire le chemin avec nous, voici le raisonnement, étape par étape.
Faites le tour jusqu'à l'extrémité de la poutre et regardez sa face circulaire. Comme la poutre est couchée, vous n'avez besoin de grimper nulle part pour la voir. Prenez un marqueur et tracez deux lignes sur ce cercle : une du haut jusque tout en bas, et une du côté droit jusqu'au côté gauche. Cela ressemblera à la vue dans un périscope de bateau, ou au réticule d'un écran de radar. Le cercle est maintenant divisé en quatre quarts : en haut à droite, en haut à gauche, en bas à droite, en bas à gauche.
Chazal nous fournissent le rapport pratique entre le périmètre d'un cercle et la ligne tracée à travers son centre : cette ligne traversante vaut un tiers du périmètre. C'est pourquoi une circonférence de trois tefachim correspond à un diamètre d'un tefach. Notre circonférence est de vingt-quatre tefachim, donc la ligne qui traverse la face mesure un tiers de cela, soit huit tefachim. Face à l'extrémité de la poutre, la distance du bord droit au bord gauche en passant par le milieu est de huit tefachim, et la distance du bord supérieur au bord inférieur est elle aussi de huit tefachim.
Un rappel avant de continuer : Chazal eux-mêmes nous disent que trois pour un n'est pas le rapport exact. C'est une approximation, le chiffre simple le plus proche avec lequel travailler, et Chazal ont décrété que nous pouvons travailler avec lui.
Le cercle à l'intérieur du carré
Imaginez maintenant un cadre carré construit bien ajusté autour de cette face circulaire. Chaque extrémité de ma ligne verticale touche le cadre, en haut et en bas ; chaque extrémité de la ligne horizontale le touche aussi, à droite et à gauche. Pourtant, dans les quatre coins du cadre, il reste un peu de surface vide, car le cercle s'écarte en s'incurvant tandis que les côtés du cadre continuent tout droit.
Le côté du carré, du haut vers le bas comme d'un côté à l'autre, mesure les mêmes huit tefachim que les lignes du cercle, puisque ce sont précisément les points où le cercle et le carré se rencontrent. Et à nouveau, pourquoi huit ? Parce que vingt-quatre autour donne un tiers de cela en travers.
Maintenant, quelle est la longueur de chacune des quatre lignes qui forment les quarts ? En mesurant vers le haut le long de la verticale, depuis l'endroit où le bord se trouve au point le plus bas jusqu'au milieu, on obtient la moitié de huit, soit quatre tefachim. En allant du milieu jusqu'au bord gauche, on obtient de même quatre tefachim. Pensez à une tarte ronde (pardon pour le mashal) coupée en quatre parts : chaque part a un bord courbe et deux bords droits, et chaque bord droit fait quatre tefachim. De fait, toute ligne droite tracée du point central vers l'extérieur jusqu'au bord mesure quatre tefachim.
Le coin : la question à un million
Concentrons-nous sur un quart, disons celui d'en bas à gauche ; de toute façon, les quatre coins sont identiques. Tracez une diagonale à l'intérieur du carré, du coin inférieur gauche du carré jusqu'au coin supérieur droit. La plus grande partie de cette ligne passe à l'intérieur du cercle, mais le segment le plus proche du coin se trouve à l'extérieur du cercle, dans cet espace courbe résiduel.
Tout dépend de cette question : quelle est la longueur du segment de la diagonale qui va du coin du carré jusqu'au moment où il atteint le bord du cercle ? La réponse : environ un tefach, et les meforshim expliquent qu'il s'agit en réalité d'un peu plus d'un tefach.
D'où cela vient-il ? Chazal nous donnent la règle pour un cercle inscrit dans un carré : la diagonale qui atteint le coin est plus longue que la ligne correspondante à l'intérieur du cercle, d'un facteur de un et deux cinquièmes, 1,4. Nous avons établi que la ligne allant du bord du cercle jusqu'à son centre mesure quatre tefachim. Prolongez cette même ligne jusqu'au coin du carré, et selon la règle de Chazal elle grandit d'environ un tefach et une fraction de plus. Ce prolongement supplémentaire, l'espace dans le coin du carré où le cercle s'est déjà écarté en s'incurvant, fait un peu plus d'un tefach. Et c'est exactement ce que nous cherchions : la preuve qu'il y a un tefach sur un tefach disponible dans cet espace du coin, qui est l'espace sous le flanc en pente de notre poutre.
Une dernière pensée. Le rapport exact entre un cercle et un carré compte parmi les questions les plus difficiles de toutes les mathématiques. Quand on regarde comment Chazal sont arrivés à leurs chiffres, c'est pilei pelaos, des merveilles sur des merveilles : ils s'approchent d'aussi près qu'il est possible de s'approcher, car une réponse exacte est inatteignable ; seul le Boré Olam la connaît exactement. Et avec cette approximation que Chazal nous ont transmise, nous pouvons nous tenir à côté d'un pilier couché à l'air libre, faire passer un mètre ruban autour de lui, et savoir si la mince tranche d'espace sous sa courbe est un ohel ou non.